(5,2) বিন্দু থেকে $2x^2+2y^2-3x+7y+15=0$বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য-

কোনো বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে বৃত্তের সমীকরণকে সাধারণ আকারে প্রকাশ করতে হবে। একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\)।

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: \(2x^2+2y^2-3x+7y+15=0\)

এই সমীকরণকে \(x^2\) এবং \(y^2\) এর সহগ 1 করার জন্য পুরো সমীকরণকে 2 দ্বারা ভাগ করতে হবে:

\[\frac{2x^2}{2} + \frac{2y^2}{2} - \frac{3x}{2} + \frac{7y}{2} + \frac{15}{2} = 0\]

\[x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}y + \frac{15}{2} = 0\]

এখন, এই বৃত্তের সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) এর সাথে তুলনা করে, আমরা পাই:

    
• \(2g = -\frac{3}{2} \Rightarrow g = -\frac{3}{4}\)
    
• \(2f = \frac{7}{2} \Rightarrow f = \frac{7}{4}\)
    
• \(c = \frac{15}{2}\)

যেকোনো বিন্দু \( (x_1, y_1) \) থেকে \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(L\) এর সূত্র হলো:

\[L = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}\]

এখানে প্রদত্ত বিন্দু \( (x_1, y_1) = (5, 2) \)।

এখন, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করার জন্য বিন্দুটির স্থানাঙ্ককে সাধারণ আকারে প্রকাশিত বৃত্তের সমীকরণে বসিয়ে বর্গমূল করতে হবে:

\[L = \sqrt{5^2 + 2^2 - \frac{3}{2}(5) + \frac{7}{2}(2) + \frac{15}{2}}\]

\[L = \sqrt{25 + 4 - \frac{15}{2} + \frac{14}{2} + \frac{15}{2}}\]

\[L = \sqrt{29 + \frac{-15 + 14 + 15}{2}}\]

\[L = \sqrt{29 + \frac{14}{2}}\]

\[L = \sqrt{29 + 7}\]

\[L = \sqrt{36}\]

\[L = 6 \text{ একক}\]

সুতরাং, (5,2) বিন্দু থেকে প্রদত্ত বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হলো 6 একক।